Mathematische Beweisführung

Die Seite heißt jetzt mathematische Beweisführung, gilt aber auch für Beweise jeglicher Form, auch philosophische. Vieles ist mir dabei aufgrund der juristischen Vorbildung, insbesondere auch in juristischer Logik, klar gewesen und ich habe es voraus gesetzt. Nach und nach merke ich, dass ich aber auch diese Basics erklären muss.

Letztlich gibt es als Möglichkeit, Schlüsse zu ziehen und damit zu beweisen die Mittel der Induktion und der Deduktion. Die Induktion ist ein pars pro toto, sprich man leitet aus einem Spezialfall auf die übergeordnete Wahrheit. Die Deduktion ist genau der entgegen gesetzte Schritt, man leitet aus der höher Wahrheit, die speziellere Aussage ab.

Der Aufbau der Mathematik ist axiomatisch. Axiome sind Aussagen oder auch Definitionen, die man bisher nicht beweisen konnte, von denen man aber sehr überzeugt ist, dass sie gelten. Das Kommutativgesetz der reellen Zahlen ist so ein Axion. Man kann nicht beweisen, geht aber stark davon aus, dass es keinen Unterschied macht, ob man 1 + 2 rechnet oder 2 + 1. Beides ergibt 3. Als mathematische Aussage ist dann das Gesetz: a + b = b + a. Aus diesen Aussagen beweist man dann deduktiv. Beispielweise kann man aus den beiden Aussagen a + b = b + a und r1 + r2 = r3 mit r1, r2, r3 Element der reelllen Zahlen sagen, dass (r1 + r2) + r3 = r1 + (r2 + r3) ist. Weil r1 + r2 dann ein r0 ist, genauso wie r2 + r3 ein r0 ist. Also ist letztlich mit a + b = b + a dies umformbar. (Ups, habe ich jetzt aus dem Kommutativgesetz das Assoziativgesetz abgeleitet, sory das wollte ich nicht ;-))

Ein Beispiel für Induktion ist der Ausspruch von Descartes "Ich denke, also bin ich". Voraussetzung für das Denken ist das Sein. Ist etwas nicht, kann es auf jeden Fall nicht denken. Das heißt man kann aus der Eigenschaft des Denkens auf die höhere Eigenschaft des Seins induzieren, weil dieses eine Grundvoraussetzung ist. Und auch weil es aus der Negation, die Negation des höheren Satzes folgt. Wenn ich nicht bin, kann ich auch nicht denken.

Was noch unbeachtet ist, ist der Zirkelschluss. An der Uni wird er uns aberzogen, denn er führt uns nicht weiter, wenn wir schließen wollen. Letztlich gehe ich aber von einer absoluten, also höchsten Wahrheit aus. Diese kann man dann nur durch Zirkelschluss beweisen. Der Zirkelschluss ist zwar in einer Beweiskette, in der man Schlüsse zieht unschön, weil man sich im Kreise dreht, aber die Aussage, die sich ergibt, ist bei weitem nicht falsch. Dementsprechend wenn denn das Sein als höchste Wahrheit gilt, kommen wir zu. Wir sind, also sind wir. Dieser Zirkelschluss beweist dann die höchste Wahrheit, aus der man dann alles deduzieren kann. Wie gesagt, kann man das sein aber auch aus der Induktion wie Descartes schließen.